​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

División sintética o regla de Ruffini


A continuación, veremos cómo realizar la división de un polinomio por un binomio usando la división sintética o regla de Ruffini .

Para explicar este procedimiento, veamos un ejemplo:

6x 3 – 2x dividido entre  4x + 8

Para realizar una división sintética deben cumplirse las siguientes condiciones:

1) Tanto dividendo (6x 3 – 2x) como divisor (4x + 8) deben tener la misma letra (en este caso la x)

2) El polinomio divisor (4x + 8) debe ser de primer grado (la equis elevada a uno).

3) Los términos del polinomio dividendo (6x 3 – 2x) deben estar agrupados de mayor a menor según su exponente (x4, x3, x2, x, 4 por ejemplo).

4) El polinomio dividendo (6x 3 – 2x) debe estar completo según sea el exponente mayor (en este ejemplo faltarían x 2 y la cifra final).

5) Si el polinomio dividendo (6x 3 – 2x) no está completo debe completarse con ceros.

En nuestro caso, el polinomio dividendo (6x 3 – 2x) debe quedar como 6x 3 + 0x 2 – 2x + 0 para empezar a operar.

Y hacemos lo siguiente:

El polinomio divisor (4x + 8) lo igualamos a cero y despejamos la x

4x + 8 = 0

4x = – 8

x = –8/4

x = –2

Luego hacemos un cuadro como sigue, anotando debajo de cada término solo su coeficiente, colocando el valor de x  ( – 2) en la línea siguiente y repitiendo abajo el primer coeficiente (6 en color rojo):

division_sintetica001

En seguida, este primer coeficiente (6) lo multiplicamos por el valor de x  (– 2), lo cual da – 12.

Este  –12 lo ponemos bajo el siguiente coeficiente ( + 0) y sumamos la columna ( + 0 + –12 = – 12), así (indicado en rojo):

division_sintetica002

Y continuamos:

El –12 lo multiplicamos ahora por –2, nos da +24 y lo ponemos bajo el siguiente coeficiente (–2), y sumamos la columna (–2  +  24 =  +22).

Y repetimos: ahora el +22 lo multiplicamos por  –2 y nos da – 44, que ponemos bajo el siguiente coeficiente (+ 0) y sumamos la columna  (–0 + –44 = –44)

El cuadro completo queda así:

division_sintetica003

Ahora agregamos la incógnita a cada término, sabiendo que en cada columna disminuye un grado:

division_sintetica004

Aquí, establecemos que –44 es el residuo; pero, en este punto debemos fijarnos en el coeficiente que tiene la x de nuestro divisor (4x + 8).

Este coeficiente de la x es 4; por lo tanto, en el resultado anterior debemos dividir cada término entre 4 (exceptuando el residuo), para quedar:

division_sintetica005

Expresión que, simplificando, reducimos a:

division_sintetica006

Entonces,  –44 es el residuo y

division_sintetica006

Es el cociente de la división sintética.

Ejercicio 1)

Dividir division_sintetica007

Hacemos

x – 2 = 0

x = 2

Luego, el cuadro

division_sintetica008

Donde 13 es el residuo y el cociente es

division_sintetica009

Nótese que lo marcado en rojo no se escribe.

Ir a: División de polinomios

Materias